I Calcoli del Mensor

di M. Pagliari

Introduzione: L' Abaco del Museo di Martigny

Leggere i numeri romani è una delle nozioni apprese alla scuola media che non abbiamo dimenticato, forse grazie alla abbondanza di lapidi e di iscrizioni moderne che fanno uso di questa annotazione: ci è stato anche detto che quel modo di scrivere i numeri rendeva particolarmente difficile fare i calcoli. In effetti, se dobbiamo fare l'operazione 328 / 53 (a parte l'uso dell'immancabile calcolatrice tascabile) ci sentiamo meno imbarazzati che a dividere CCCXXVIII per LIII, e sappiamo che i romani si aiutavano con l'abaco. Ma come?

Nel bellissimo Museo Romano di Martigny è esposta la riproduzione di un abaco romano: si tratta di una tavoletta su cui sono ricavate scalanature su due ordini. Le scalanature di sinistra sono contrassegnate con i simboli da un milione ad uno, quelle più a destra con le frazioni 1/12, 1/24 e 1/48. Per indicare un numero, venivano messi dei gettoni nelle scalanature opportune: i gettoni nell'ordine interiore valevano una unità , quelli nell'ordine superiore, cinque. Ho creduto allora non inutile tentare di ricostruire la tecnica di calcolo, sia applicando quella"con carta e penna" appresa alle scuole elemetari, sia mutuando le tecniche tuttora in uso o da poco scomparse in Estremo Oriente.

L' Abaco nel Medio e Estremo Oriente

Secondo una interpretazione etimologica, abaco sarebbe una tavola coperta di sabbia su cui tracciare segni o lettere. Nato probabilmente in Babilonia, Erodoto ne ricorda l'uso in Egitto e in Grecia nel 450 a.C. Fu conosciuto in Turchia in Armenia ed in Russia. In Cina un tipo poco diverso è noto dal IV secolo a.C., passato di là  in Giappone attorno al 600 d.C.. Nel XII secolo troviamo in Cina una versione molto simile all'abaco romano, detta suon pan, passata poi in Giappone con il nome di soroban, entrambi adoperati diffusamente fino a non molti anni fà  e probabilmente ancora in uso in qualche zona interna della Cina.

L' introduzione in occidente della notazione araba (comprendente lo zero) ad opera di Leonardo Fibonacci nei primi anni del XIII secolo segnò l'inizio dell'abbandono dell'abaco come mezzo di calcolo: per altro il suo uso durò ancora fino al secolo XVI in Francia ed al XVII in Germania ed in Inghilterra. Del resto, almeno i ...... meno giovani tra noi ricordano di aver imparato a contare, da bambini, col pallottolier, un abaco paragonabile per molti aspetti a col suan-pan cinese. Ancora in anni relativamente recenti in Estremo Oriente si poteva dimostrare una maggiore rapidità  della"bead arithmetic" sull'abaco rispetto alla"pen arithmetic" occidentale, per calcoli non eccessivamente complessi.

La numerazione romana

La prima deduzione che si può trarre osservando l'abaco è che per i valori superiori all'unità , il sistema di numerazione era decimale, perchè le scanalature corrispondono alle potenze del 10, da 100 a 106. Le cifre del 5, del 50 e del 500 dovevano servire solo per abbreviare la notazione scritta, così come le scanalature superiori dell'abaco dovevsno servire solo a ridurre il numeero dei gettoni necessari; infatti sull'abaco non sono indicati V, L e D. Sistema, insomma, del tutto analogo al nostro. Osserviamo anche che le notazioni V, L e D sono graficamente abbastanza vicine ad una metà  dei simboli X, C e M almeno nella loro forma originale, prima di essere gradualmente identificati con le lettere.

I romani avevano anche essi, ovviamente, bisogno di calcolare valori inferiori all'unità : essi peraltro non conoscevano nà © lo zero nà © la virgola decimale, e dovevano ricorrere necessariamente ad un sistema di frazioni. Per i valori minori di uno, però, invece del sistema decimale troviamo un sistema dodecimale, come è ampiamente documentato in Frontino ed indicato anche sull'abaco di Martigny. Questo non già , come è stato detto dal Loria, "per ristretta mentalità  scientifica"; il motivo è evidente: 12 ed i suoi multipli hanno più divisori del 10, e questo facilita molto la riduzione ai minimi termini e perciò i calcoli. Ad esempio la frazione 1/288, detta"scrupulum" è riducibile da tutti numeri da 2 a 9 esclusi soltanto il 5 ed il 7.

Base del sistema di frazioni di cui si serve Frontino è perciò 1/12 di un'unità  qualunque, l'oncia, il cui simbolo è una lineetta orizzontale , - , ripetuto più volte fino ad un quincus, 5/12, indicata con = = -. I 6/12, cioè la metà  dell'intero ha il nome di semis e veniva indicata con S ; per cui la frazione 9/12, detta dodrans era indicata con S= -. Le frazioni inferiori all'oncia hanno al denominatore multipli di 12, fino allo scrupulum, pari a 1/288. E' questa la frazione più piccola usata da Frontino. La tabella 1 riporta integralmente il sistema di frazioni dall'unità  (12/12) allo scrupulum, con le loro notazioni. Esistevano anche frazioni ancora più piccole, fino al "calcus" (1/2304), almeno in età  più tarda, ma non sappiamo se fossero effettivamente in uso.

Tabella 1

nome	valore	segno
AS	12/12 = 1
DEUNX	11/12	S = = -
DEXTANS	10/12 = 5/6	S = =
DODRANS	9/12 = 2/3	S = -
BES	8/12	S =
SEPTUNX	7/12	S -
SEMIS	6/12 = 1/2	S
QUINCUNX	5/12	= = -
TRIENS	4/12 = 1/3	= =
QUADRANS	3/12 = 1/4	= -
SEXTANS	2/12 = 1/6	=
SESCUNCIA	3/12*2 = 1/8
UNCIA	1/12	-
SEMIUNCIA	1/12*2 = 1/24	E
DUELLA	1/12*3 = 1/36
SICILICUS	1/12*4 = 1/48	2
SEXTULA	1/12*6 = 1/72
SCRUPULUM	1/12*24 = 1/288	O

I Calcoli con l'abaco

Per veder come potevano esser eseguiti i calcoli servendosi dell'abaco, ho provato ad eseguire le quattro operazioni aritmetiche col procedimento appreso a scuola, ma adoperando l'abaco invece di carta e penna: il tentativo è riuscito, anche se richiede una certa abilità  nel calcolo mentale, e questo mi porta a credere che i procedimenti usati non fossero molto diversi dai nostri.

L' addizione, naturalmente, non presenta problemi: quando i gettoni in una casella hanno raggiunto il valore 10, basta sostituirli con un gettone nella casella vivina a sinistra, e proseguire. Per la sottrazione si segue un procedimento inverso, prendendo un gettone dalla casella a sinistra quando la cifra del sottraendoun gettone dalla casella a sinistra quando la cifra del sottraendo è superiore a quella del minuendo. La moltiplicazione è già  più complessa: se il moltiplicatore ha più cifre, occorre operare sulla casella della corrispondente potenza di 10, come del resto facciamo anche noi, quando spostiamo di un posto a sinistra ogni successivo prodotto parziale.

L'operazione più complessa è la divisione, per l'impossibilità  di mettere "in colonna" i risultati intermedi, ma anche in questo caso è stato applicabile il nostro procedimento di calcolo, provando un primo quoziente con la prima cifra del divisore, vedendo se la cifra successiva del divisore "stà " nella successiva del dividendo e così via, fino al resto.

A questo punto entrano in gioco le frazioni. Il resto deve essere moltiplicato per 12, o per un multiplo di 12, in modo da risultare più grande del divisore: si esegue la divisione, ottenendo il numeratore della frazione; si ripete il procedimento sull'eventuale resto, e così via, fino ad avere la precisionevoluta. In pratica, è lo stesso procedimento che dobbiamo impiegare quando operiammo su sistemi non decimali, come le misure di tempo o i gradi sesagesimali.

Proviamo a dividere 3527 per 84, o meglio MMMDXXVII per LXXXIV:
il risultato è per noi 41.988, per un "mensor" romano sarebbe stato

41 + 11/12 + 1/24 + 8/288

scritto così:

XLI S = = -

L' abaco permette anche l'estrazione di radici quadrate e cubiche, ma non ho provato ad eseguire queste operazioni.

La precisione nei calcoli

Il valore 41.988 ottenuto prima è approssimato a meno di 1/1000; 41 + 11/12 +1/24 + 8/288 è approssimato a meno di 1/288, cioè 3.47/1000.

Vitruvio (De Architectura, VIII, 6) consiglia come pendenza degli acquedotti mezzo piede ogni 100 piedi, (il piede romano valeva poco più di 295 mm) e questo presuppone la capacità  di calcolare con una precisione almeno dell'ordine di 5/1000, congrua, come abbiamo appena visto con la frazione 1/288.

Per le misure di lunghezza, prendendo come unità  il piede di 295.6 mm, lo "scrupulum" corrisponde a 1.026 mm, lunghezza adeguata alle possibilità  ed alle necessità  della tecnologia dell'epoca: precisioni migliori sono necessarie, infatti, solo quando si deve assicurare la intercambiabilità  di pezzi prodotti in serie, problema che gli antichi romani non avevano.

Nella"taberna officina" ovvero lo studio di un mensor (geometra) di Pompei, un certo Verus, insieme ai resti di altri strumenti della professione è stato ritrovato un regolo di bronzo lungo un piede, ripiegato a metà  con una cerniera, certo per trasportarlo più comodamente. E' molto probabile che le facce interne, e perciò protette, rechino le suddivisioni in "semis", "uncia", "semiuncia", e, magari, "scrupulum". Noi contentiamoci di quello rigido, ma provvisto dei becchi come un calibro di oggi, che ci mostra sorridente e pensosa assieme, la Ktisis, personificazione dell'arte di costruire.

Bibliografia

Smith, D.E. Abacus  in Encyclopedia Britannica, I, Chicago 1963	Anonimo How to use "Soroban" Nanto ltd. Tokyo, senza data.
Kwa Tak Ming The Fundamental Operations in Bead Arithmetic service supply 88 S. Francisco, senza data.	Loria, G. Storia delle Matematiche Ulrico Hoepli, Milano, 1950
Frontinus De Acqueductu Urbis Romae trad. Grimal, P. S.E. Les Belles Lettres, Paris, 1961	Vitruvius De Architectura, VIII trad. Granger, F. Loeb Classical Library, 1985